Question

【题目】如图,在四棱锥 中,底面为直角梯形, ， ，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱上的点，

（Ⅰ）若是棱 的中点,求证: ；

（Ⅱ）若二面角的大小为,试求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接，交于,连接，只需证MN//PA.(2)由平面底面ABCD

和可知平面， ．四边形是矩形，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，用t表示M点坐标，由二面角的空间向量方法，求得t.

试题解析：证明：（Ⅰ）连接，交于,连接，

且，即且，

∴四边形为平行四边形,故为的中点.

又∵点是棱的中点,

.

∵平面，平面，

∴．

（Ⅱ）因为 为的中点, 则．

∵平面平面,且平面平面 ,

∴平面,

∵平面,∴ .

∵, 为的中点,

∴四边形为平行四边形,

∴,

又∵, ∴,即．

以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系（如图），

则, , , ， ， ， .

设，

则.

设平面的法向量为，

由得，

令，得平面 的一个法向量为，

又是平面的一法向量，二面角的大小为,

∴,

解得 （舍），∴．