Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π）．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：的距离最短，并求出点D的直角坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．

（2）利用圆的几何性质即可得到结果．

(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.

因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.

(2)因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C与直线l相离．

设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，

所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．

即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，

即×(－)＝－1，又x＋(y0－1)2＝1，

可得x0＝－ (舍去)或x0＝，所以y0＝，

即点D的坐标为.