Question

【题目】极坐标系中椭圆C的方程为ρ2= ，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
（1）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求x+ y的取值范围；
（2）若椭圆的两条弦AB，CD交于点Q，且直线AB与CD的倾斜角互补，求证：|QA||QB|=|QC||QD|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆C的方程为ρ2= ，化为x2+2y2=2，

∴ ．

令 ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．

∴x+ y= =2 ∈[﹣2，2]，

∴x+ y的取值范围是[﹣2，2]

（2）证明：设Q（m，n），直线AB的参数方程为 （t为参数），

∵直线AB与CD的倾斜角互补，可设直线CD的参数方程为 ，

把直线AB的参数方程为 （t为参数）代入椭圆的方程化为：（1+sin2α）t2+（2mcosα+4nsinα）t+m2+2n2﹣2=0，

∴|QA||QB|= ，

同理可得：|QC||QD|= ，

∴：|QA||QB|=|QC||QD|

【解析】（1）由椭圆C的方程为ρ2= ，化为 ．令 ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．可得x+ y=2 ，即可得出取值范围．（2）设Q（m，n），直线AB的参数方程为 （t为参数），直线AB与CD的倾斜角互补，可设直线CD的参数方程为 ，分别把直线AB、CD的参数方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．