Question

【题目】已知，设函数.

（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；

（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数得，分别讨论时函数在区间的最大值点是否符合题意即可；

（2），构造函数，道的最大值为，等价于在区间上恒成立，由于，则，此时恒成立，即在区间上单调递增，符合题意.

试题解析：（1），

①当时，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，

∴，由，得在时无解，

②当时，不合题意；

③当时，在单调递增，在递减，在单调递增，

∴即，∴，

④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，

综上所述：时，存在，使得是在上的最大值.

（2）对任意恒成立，

即对任意恒成立，令

，，根据题意，可以知道的最大值为1，则

恒成立，

由于，则，

当时，，则，若，则在上递减，在上递增，则，∴在上是递增的函数.

∴，满足条件，∴的取值范围是.