Question

【题目】已知椭圆C：x2+4y2=16，点M（2，1）．
（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（2）求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆C：x2+4y2=16，则 ，可知椭圆的焦点在x轴上，

a=4，b=2，则c= =2 ，

∴椭圆的焦点坐标为（2 ，0），（﹣2 ，0），

离心率e= =

（2）解：设过M点的直线与椭圆交于点A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意得： ，

两式相减得： + =0

由中点坐标公式，得 （x1+x2）=2， （y1+y2）=1，

kAB= =﹣ =﹣ ，

则所求直线方程为y﹣1= （x﹣2），

∴x+2y﹣4=0

【解析】（1）将椭圆转化成标准方程： ，可知椭圆的焦点在x轴上，a=4，b=2，则c= =2 ，焦点坐标为（2 ，0），（﹣2 ，0），离心率e= = ；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 ，作差 + =0，由中点坐标公式及斜率公式可知：kAB= =﹣ =﹣ ，利用直线的点斜式方程，即可求得直线AB的方程．