Question

【题目】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C⊥AC1 ．
（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：连接BC1 ， 因为BB1C1C为菱形， 所以B1C⊥BC1 ， 又B1C⊥AC1 ， AC1∩BC1=C1 ，
所以B1C⊥面ABC1 ． 故B1C⊥AB．
因为AB⊥BB1 ， 且BB1∩BC1 ， 所以AB⊥面BB1C1C．
而AB平面ABB1A1 ， 所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，
所以BD⊥CC1 ， 又D是CC1中点，
所以BD=BC1 ， 所以△C1BC为等边三角形．
如图所示，分别以BA，BB1 ， BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AB=2，则A（2，0，0）， ， ， ）．
设 是平面ABC的一个法向量，则 ，即 ，
取z=1得 ．
所以 = ，
所以直线AC1与平面ABC所成的余弦值为
【解析】（Ⅰ）连接BC1 ， 可得B1C⊥面ABC1 ． B1C⊥AB． 由AB⊥BB1 ， 得AB⊥面BB1C1C．可得平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）由∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，得△C1BC为等边三角形．分别以BA，BB1 ， BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0）， ， ．利用向量法求解．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．