Question

【题目】某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）．

工种类别	A	B	C
赔付频率

对于A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为a元，a元，b元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．

（Ⅰ）若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a、b所要满足的条件；
（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择；
方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．
若企业选择翻翻2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费a、b所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作．（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（Ⅰ）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作．）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X，Y，Z， 则随机变量X的分布列为：

X	a	a﹣100×104
P

随机变量Y的分布列为：

Y	a	a﹣100×104
P

随机变量Z的分布列为：

Z	b	b﹣50×104
P

保险公司期望收益为 =a﹣10，
=a﹣20，
=b﹣50；
根据要求（a﹣10）×20000×0.6+（a﹣20）×20000×0.3+（b﹣50）×20000×0.1﹣10×104
≥（a×20000×0.6+a×20000×0.3+b×20000×0.1）×0.2，
解得9a+b≥275，
所以每张保单的保费需要满足9a+b≥275元；
（Ⅱ）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，
即赔偿金的期望值为
20000×0.6× ×100×104+0.3× ×100×104+0.1× ×50×104=17×20000；
若该企业与保险公司合作，则安全支出，
即保费为20000×（0.6×a+0.3×a+0.1×b）×0.6=（0.9×a+0.1×b）×0.6×20000；
解得9a+b＜283.33，
结果与（Ⅰ）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作
【解析】（Ⅰ）设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X，Y，Z，写出随机变量X、Y、Z的分布列，计算保险公司期望收益EX、EY、EZ；根据要求列出不等式，求出a、b满足的条件；（Ⅱ）计算企业不与保险公司合作时安全支出（即赔偿金的期望值），以及企业与保险公司合作的安全支出（即保费），比较大小．