Question

【题目】如图所示，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成.设直线的斜率为.

（Ⅰ）求点的坐标及直线的斜率的范围；

（Ⅱ）令的面积为，试求出的取值范围；

（Ⅲ）令（Ⅱ）中的取值范围为集合，若对恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； ； .(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得：直线 方程为： 直线 方程为： ，分别与直线 的方程联立即可得出点的坐标；由在坐标系中的位置可求斜率

的取值范围
（Ⅱ）利用三角形的面积计算公式可得 ，通过换元利用导数即可得出其单调性最值，进而得出的取值范围区间D；
（Ⅲ）已知 对任意 恒成立．可转化为 再利用二次函数的单调性即可得出．

试题解析：（（Ⅰ）∵，

∴直线方程为：

直线方程为： ，

由得.

∵，∴或，

又由得且，

得，∴.

（Ⅱ） .

设， .

∵在是单调递增.∴当时， ，即当时即时， ， ，∴.

（Ⅲ）已知对任意恒成立.

又∵，∴，

.∴.