Question

【题目】已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x ， g（x）=ax+ +1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（1）求证： ；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，

令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，则h′（x）=x（ex﹣e﹣x）．

当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，

∴h（x）在[0，1）上是增函数，

∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．

②当x∈[0，1）时， ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，则u′（x）=ex﹣1．

当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，

∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，

∴f（x） ．

综上可知： ．

（2）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=

≥ = ．

令H（x）= ，则H′（x）=x﹣2sinx，

令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．

当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，

可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，

∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．

∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．

下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．

f（x）﹣g（x）≤ = =﹣x ．

令v（x）= = ，则v′（x）= ．

当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，

∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．

当a＞﹣3时，a+3＞0．

∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．

即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．

综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．

【解析】（1）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex ， 令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex ， 利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时， ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（2）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥ = ．再令H（x）= ，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．