Question

【题目】已知抛物线的方程为，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设直线与直线的夹角为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，

整理得：，方程①的判别式，故时均满足题目要求．记交点坐标为，则为方程①的两根，故由韦达定理可知，．将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，整理得，

同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，

联立两条切线的方程，解得点坐标为，

故点P的轨迹方程为，

（Ⅱ）当时，，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．

当时，记直线PQ的斜率为，则，又由于直线AB的斜率为，且已知直线AB与直线PQ所夹角

，

综上所述，得取值范围是