Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，， 分别为的中点，点在线段上．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明线与面垂直，根据判定定理，需要证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据中点易证明,所以可以将问题转化为证明与平面内的两条相交直线垂直，即证明和；

（Ⅱ）根据上一问所证明的垂直关系，可以建立以为原点的空间直角坐标系，设,根据,表示点的坐标，首先求平面的法向量，以及平面的法向量，并根据建立方程，求.

试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以．

由分别为的中点，得，

所以．

因为侧面底面，且，

所以底面．

又因为底面，

所以．

又因为，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以

分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系，

则，

所以，，，

设，则，

所以，，

易得平面的法向量．

设平面的法向量为，

由，，得

令， 得．

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，

所以 ，

解得，或（舍）．

综上所得：