Question

【题目】已知函数在点处的切线与直线平行，且，其中.

（Ⅰ）求的值，并求出函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数，对于正实数，若，使得成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），的单调递增区间为; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得斜率，列方程，求解即可

（Ⅱ），使得成立等价于在区间上有解，即在区间上有解，转化为在区间上有解，构造函数，求导利用单调性求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）对求导，得.若在点处的切线与直线平行，则，又，求得.

即，此时，定义域为，

对求导，得.

由，求得，即的单调递增区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，使得成立等价于在区间上有解，即在区间上有解.

因为当时，（不同时取等号），所以，

于是在区间上有解可转化为在区间上有解.

记,

则.

因为，则，

所以，即在上单调递增，

所以，

可知.

于是实数的最大值为.