Question

【题目】设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[﹣2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（x）=f（﹣x）恒成立，

则 ，

∴ ，

∴（2a+1）x=0恒成立，则2a+1=0，故

（2）解：

= ．

当且仅当x=0时取等号，

∴mt+m≤1对任意t∈[﹣2，1]恒成立，

令h（t）=mt+m，

由 ，解得 ，

故实数m的取值范围是 ．

【解析】（1）由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）恒成立可求；（2）不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m对任意x∈R成立，等价于[f（x）+f（﹣x）]min≥mt+m，利用基本不等式可求得[f（x）+f（﹣x）]min ， 然后构造关于t的一次函数，利用一次函数的性质可求得m范围．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．