Question

【题目】已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．

（1）求的值；

（2）若1是其中一个零点，求的取值范围；

（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) b=0；(2) (,+∞)；⑶过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线

【解析】试题分析：（1）由题意得 ，即得b=0.（2）由f(1)=0，得c=1a，所以f(2)= 3a7，根据在上有三个零点可得的取值范围，代入可得的取值范围；（3）先设切点，根据导数几何意义可求切线方程，转化研究方程解的个数，令h(x)= ，则利用导数可得函数先减后增，结合零点存在定理可得函数有两个零点，即可作2条切线

试题解析：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c，

∴f′(x)=3x2+2ax+b，

∵f(x)在(∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数，

∴当x=0时,f(x)取到极小值,即.

∴b=0.

(2)由(1)知f(x)=x3+ax2+c，

∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0，

∴c=1a，

∵f′(x)=3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=，

f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点，

∴x2=>1,解得，

∴f(2)=8+4a+(1a)=3a7>，

∴f(2)的取值范围是(,+∞).

⑶=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为

∴，即

∴，令h(x)= ，∴==0，∴

∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2， ）上单调递增

又，h(2)=ln2-1<0，

∴h(x)与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.