Question

【题目】如图， 是圆的直径，点在圆上，矩形所在的平面垂直于圆所在的平面， ．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）h=

【解析】试题分析：（1）先根据平几知识得BC⊥AC，CD⊥BC，再利用线面垂直判定定理得BC⊥平面ACD，即有DE⊥平面ACD，最后根据面面垂直判定定理得平面⊥平面；（2）先根据DE⊥平面ACD，表示三棱锥的体积，再根据基本不等式得体积最大时满足的条件： ，最后利用等体积求高，即可得点到平面的距离．

试题解析：（1）∵AB是直径，∴BC⊥AC

又四边形DCBE为矩形，CD⊥DE，BC∥DE，

∴CD⊥BC．

∵CD∩AC=C，

∴BC⊥平面ACD，

∴DE⊥平面ACD

又DE平面ADE，

∴平面ADE⊥平面ACD

（2）由（1）知VC﹣ADE=VE﹣ACD==

==，

当且仅当AC=BC=2时等号成立

∴当AC=BC=2三棱锥C﹣ADE体积最大为：

此时，AD==3，=3，

设点C到平面ADE的距离为h，则

∴h=