Question

（2009•嘉定区一模）（文）已知复数z₁=1+i，z₂=t+i，其中t∈R，i为虚数单位．
（1）若z1•

.

z2

是实数（其中

.

z2

为z₂的共轭复数），求实数t的值；
（2）若| z1+z2 |≤2

2

，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先计算两个复数的乘积，整理成标准形式，根据复数是一个实数，得到虚部等于0，求出t的值．
（2）先做两个复数的和，表示出两个复数的和的模长，根据模长的范围，得到关于t的一元二次不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）z1•

.

z2

=(1+i)(t-i)=(t+1)+(t-1)i，…（3分）
由已知，z1•

.

z2

是实数，所以t-1=0，即t=1．…（6分）
（2）由|z1+z2|≤2

2

，得|(1+t)+2i|≤2

2

，即

(1+t)2+4

≤2

2

，…（8分）
即（t+1）²+4≤8，解得-3≤t≤1．…（11分）
所以t的取值范围是[-3，1]．…（12分）

点评：本题看出复数的代数形式的运算和复数的模长，本题解题的关键是表示出两个复数的和，写出模长的表示形式，本题是一个基础题．