Question

【题目】动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）考虑点和点的关系，设点，由可把用表示出来，再把代入已知抛物线方程即得； （Ⅱ）分析题意知直线斜率存在，设方程为，设点， 由直线方程与曲线方程联立方程组，消去得的一元二次方程，则可得，当过点时，不妨设，则可以看作是曲线在A点处切线的斜率，则可计算出，当不过点时，计算，最后计算，交把代入得到关于的函数，可求得最小值．

试题解析：（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，

（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，设方程为，

联立得

由韦达定理得

（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得.

（2）当直线不经过点即且时，，

所以的最小值为.

方法二：同上

故，所以的最小值为

方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：

化简整理得：

，令，则