Question

【题目】已知椭圆：的左右焦点分别为、，上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．

求椭圆的方程；

设，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值；

设不经过点B的直线l与椭圆相交于M、N两点，且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值6，最小；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由向量与的夹角为，可得可得，即可得到椭圆方程；（2）设，代入椭圆方程，结合数量积公式可得，利用二次函数的性质可得结果；(3)设不经过点的直线方程为：，联立椭圆方程可得，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得，代入直线方程即可得证．

椭圆：的，向量与的夹角为，

可得，即，

则椭圆方程为；

设，可得，即，

，

由可得时，上式取得最小值；时，取得最大值6，

则的范围是；

证明：当直线l的斜率不存在时，设，，

由，

，，得，此时M，N重合，不符合题意；

设不经过点P的直线l方程为：，，，

由得，

，，

，

，

，，

，

直线l必过定点．