Question

【题目】若定义在R上的函数满足，且当时， ，则函数在区间[-7,1]上的零点个数为( )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

Answer 1

【答案】C

【解析】定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x),f(2x)=f(x)，

∴函数f(x)是偶函数，且函数的图象关于x=1对称。

∵设g(x)=xex,其定义域为R,g′(x)=(xex)′=x′ex+x(ex)′=ex+xex

令g′(x)=ex+xex=ex(1+x)=0，解得：x=1.

列表：

x	(∞,1)	1	(1,+∞)
g′(x)		0	+
g(x)	↓	极小值	↑

由表可知函数g(x)=xex的单调递减区间为(∞,1),单调递增区间为(1,+∞).

当x=1时,函数g(x)=xex的极小值为 .

故函数y=|xex|在x=1时取得极大值为 ，

且y=|xex|在(∞,1)上是增函数,在(1,∞)上是减函数，

在区间[7,1]上,故当x<0时,f(x)与g(x)有7个交点，当x>0时，有1个交点，共有8个交点，

如图所示：

故选：C.