Question

【题目】四边形的顶点， ， ， ， 为坐标原点．

（）此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程；若没有，请说明理由．

（）记的外接圆为，过上的点作圆的切线，设与轴、轴的正半轴分别交于点、，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（）外接圆方程为 （）

【解析】试题分析：

（1）先求出过三点的圆，通过验证点D是否在此圆上来判断四边形是否有外接圆。（2）由（1）得的外接圆为的方程为，先求得，可得切线的斜率，切线方程为，整理得切线，然后求得点的坐标，求得，根据基本不等式可得，即为所求。

试题解析：

（）设过三点的外接圆为，圆心，半径为，

则圆的标准方程为，

由题意得 ，解得

∴ 圆，

验证可得点在圆上。

∴ 四边形有外接圆，其方程为．

（）由（1）得的外接圆为的方程为。

由题意得，

∴ 切线的斜率，从而切线的方程为，

整理得，

又点在圆上，故，

∴ 切线，

令，得，∴ ，

令，得，∴ ，

∴ 面积，

∵ ，

∴ ，当且仅当时等号成立.

即面积的最小值为，此时点．