Question

【题目】已知函数 在区间 上有最大值4和最小值1，
设 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

因为 ，所以 在区间 上是增函数，

故 ，解得 ．

（Ⅱ）由已知可得 ，所以 可化为 ，

化为 ，令 ，则 ，因 ，故 ，

记 ，因为 ，故 ，

所以 的取值范围是

【解析】(1)由函数可知其图像是开口向上的抛物线对称轴为x=1，所以函数 g(x) 在区间 [ 2 , 3 ] 上单调递增根据二次函数在指定区间上的最值情况代入数值求出a、b的值即可。(2)整理已知的函数代数式转化为 2x + 2 ≥ k 2x，由整体思想转化为 k ≤ t2 2 t + 1 结合2x>0，x ∈ [ 1 , 1 ]即可 t ∈ [ , 2 ] ，借助二次函数在指定区间上的最值情况求出 h ( t ) min= 0 ，进而得出 k 的取值范围。