Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）设（），讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若斜率为的直线与曲线交于，两点，其中，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在区间内是增函数，当时，在内单调递增，在内单调递减．（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，由与求函数的单调区间与单调性，从而可得；（Ⅱ）由已知可知，，分与分别讨论导数的符号可得函数的单调区间；（Ⅲ），则不等式，令，只要证不等式（）即可，分别构造函数（）与（），可证成立.

试题解析： （Ⅰ）（），……（1分）

令，得，

当时，；当时，．

则在内递减，在内递增，…………（2分）

所以当时，函数取得最小值，且……（3分）

（Ⅱ），（），…………（4分）

当时，恒有，在区间内是增函数；……（5分）

当时，令，即，解得，

令，即，解得，………（6分）

综上，当时，在区间内是增函数，当时，在内单调递增，在内单调递减．………（7分）

（Ⅲ）证明：，要证明，

即证，………（8分）

等价于，令（由，知），

则只需证，由，知，故等价于（）（）……（9分）

①设（），则（），所以在内是增函数，当时，，所以；…………（10分）

②设（），则（），所以在内是增函数，所以当时，，即（）．……（11分）

由①②知（）成立，所以．……（12分）