Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）2﹣ ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1 ， x2 ， 证明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

f'（x）=0x=1，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．

所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增

（Ⅱ）证明： ，f（0）=1，不妨设x1＜x2，

又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，

又函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，

所以x1+x2＞2x1＞2﹣x2等价于f（x1）＜f（2﹣x2），

即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．

又 ，而 ，

所以

设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，则g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）

当x∈（1，+∞）时g'（x）＞0，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＞0．

而 恒成立，

所以当x＞1时， ，

故x1+x2＞2．

【解析】（Ⅰ）利用导函数在指定区间上的正负得到其增减性。（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论得到x1＞2﹣x2 即得于f（x1）＜f（2﹣x2）求出 f ( 2 x 2 )的表达式，构造函数g（x）求导根据导函数的正负得出函数的最值，转化求解即可。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．