Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（1）求A∪B；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解（1）函数f（x）的自变量x需满足条件，
解得，2＜x≤4，所以，A={x|2＜x≤4}，
对于函数g（x），因为≤x≤8，
所以，g（x）=log2x∈[﹣2，3]，
因此，B={x|﹣2≤x≤3}，
所以，A∪B={x|﹣2≤x≤4}；
（2）由B∩C=C得，CB，对集合C讨论如下：
①当C=时，a＞3a﹣1，解得a＜，
因为空集是任何集合的子集，故符合题意；
②当C≠时，需要满足下列条件：
，解得，≤a≤，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（﹣∞，]．
【解析】（1）先求出集合A={x|2＜x≤4}，B={x|﹣2≤x≤3}，再直接取它们的并集；
（2）问题等价为CB，再对集合C分类讨论，得出实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解集合的交集运算(交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立)．