Question

【题目】已知函数， ， 为实数， ， 为自然对数的底数， .

（1）当， 时，设函数的最小值为，求的最大值；

（2）若关于的方程在区间上有两个不同实数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，并在定义域内求导函数零点： ，再列表分析导函数符号变化规律，确定单调性及最小值 ，再利用导数研究函数最值：先求导数，确定定义域内导函数零点，最后根据单调性确定函数最值.（2）先变量分离： ，转化为研究函数图像：当时， 单调减， ；当时， 单调增， ， 因此有两个不同实数解需，

试题解析：解：（1）当时，函数，

则 ，

令，得，因为时， ，

所以 ，

令，

则，令，得，

且当时， 有最大值1，

所以的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时.

（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，

所以在区间上有两个不同的实数解，

即函数图象与函数图象有两个不同的交点，

因为，令，得，

所以当时， ，

当时， ，

所以， 满足的关系式为，即的取值范围为.