Question

【题目】已知集合M={f（x）|f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）f（x﹣y），x，y∈R}，有下列命题
①若f（x）= ，则f（x）∈M；
②若f（x）=2x，则f（x）∈M；
③f（x）∈M，则y=f（x）的图象关于原点对称；
④f（x）∈M，则对于任意实数x1 ， x2（x1≠x2），总有 ＜0成立；
其中所有正确命题的序号是 ． （写出所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①若x=3，y=1，则f2（x）﹣f2（y）=1﹣1=0，f（x+y）f（x﹣y）=f（4）f（2）=1，不满足集合条件，故f（x）M，故①错误；
②由f（x）=2x得：f2（x）﹣f2（y）=4x2﹣4y2 ， f（x+y）f（x﹣y）=2（x+y）2（x﹣y）=4x2﹣4y2 ， 满足等式，故f（x）∈M，故②正确；
③由题意知，函数f（x）满足f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）f（x﹣y），令x=y=0得：f（0）=0；再令x=0得：﹣f2（y）=f（y）f（﹣y），即有f（y）[f（y）+f（﹣y）]=0，所以f（y）=0或f（﹣y）=﹣f（y），当f（y）=0时，函数图象关于原点对称，当f（﹣y）=﹣f（y）时，函数为奇函数，图象也关于原点对称，故③正确；④取f（x）=﹣x，因为f2（x）﹣f2（y）=x2﹣y2 ， f（x+y）f（x﹣y）=﹣（x+y）（y﹣x）=x2﹣y2 ， 所以f（x）∈M，而f（x）=﹣x为减函数，故④错误．
综上可得：②③正确．
所以答案是：②③．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．