Question

【题目】已知函数f（x）=（ ）x ， 函数g（x）=log x．
（1）若g（ax2+2x+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[（ ）t+1 ， （ ）t]时，求函数y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；
（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=log f（x2）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 定义域为R；

所以ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立；

当a=0时，2x+1＞0不可能对一切x∈R成立；

所以 即： ；

综上 a＞1

（2）解： ；

令 ；

所以y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；

当t≥1时， ；

当0＜t＜1时，ymin=1；

当t≤0时， ；

所以

（3）解：y=x2在[0，+∞）上是增函数；

若存在非负实数m、n满足题意，则 ；

即m、n是方程x2=2x的两非负实根，且m＜n；

所以m=0，n=2；

即存在m=0，n=2满足题意

【解析】（1）g（ax2+2x+1）的定义域为R，即所以ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立，转化为一元二次函数问题；（2）利用换元法构造新函数y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；对参数t分类讨论其位置，判断函数的最小值即可；（3）根据函数的单调性，列出方程组 ，转化为：即m、n是方程x2=2x的两非负实根，且m＜n；