Question

【题目】设函数f（x）=loga（1﹣），其中0＜a＜1．
（Ⅰ）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设0＜a＜x1＜x2 ， g（x）=1﹣，
则g（x1 ）﹣g（x2）=（1﹣）﹣（1﹣）=＜0，
∴g（x1 ）＜g（x2 ），
又∵0＜a＜1，
∴f（x1 ）＞f（x2 ），
∴f（x）在（a，+∞）递减；
（Ⅱ）∵＞1，
∴0＜1﹣＜a，
∴1﹣a＜＜1，
∵0＜a＜1，
∴1﹣a＞0，
从而a＜x＜，
∴x的范围是（a，）．
【解析】（Ⅰ）设0＜a＜x1＜x2 ， g（x）=1﹣ ， 则g（x1 ）﹣g（x2）=＜0，进而f（x1 ）＞f（x2 ），得f（x）在（a，+∞）递减；
（Ⅱ）由＞1，得1﹣a＜＜1，从而a＜x＜ ， 从而求出x的范围．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．