Question

【题目】设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）﹣1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当a=时，g（x）≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得 kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，
∴k=0．
（Ⅱ）∵g（x）=af（x）﹣1=a2x﹣1=（a2）x﹣1（13分）
①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．
②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，
∴g（x）最大值为．
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为，
∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立
令h（m）=﹣2mt+t2 ， ∴
即
所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
【解析】（Ⅰ）利用函数是奇函数，建立方程，即可求k的值；
（Ⅱ）对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当a=时，g（x）≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，等价于1≤t2﹣2mt+1在[﹣1，1]上恒成立，构建新函数，即可求实数t的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和二次函数在闭区间上的最值，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；当时，当时，；当时在上递减，当时，才能得出正确答案．