Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A(2，1)，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由离心率知，椭圆过点A(2，1)，代入椭圆方程，可解得.(2)由题意可得直线BC一定过(0,0)点，即m=0, 设，代入椭圆方程得，又，即代入坐标运算可解得k.

试题解析：（Ⅰ）由条件知椭圆离心率为 ，

所以．

又点A(2，1)在椭圆上，

所以， 解得

所以，所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）将代入椭圆方程，得，

整理，得． ①

由线段BC被y轴平分，得，

因为，所以．

因为当时， 关于原点对称，设，

由方程①，得，

又因为，A(2，1)，

所以 ，

所以．

由于时，直线过点A(2，1)，故不符合题设．

所以，此时直线l的方程为．