Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠BCO，

又∵∠ACD=∠B，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，

即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）

解：∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵∠ACD=∠B，

∴△ACB∽△ADC，

∴AC2=ADAB=1×4=4，

∴AC=2．

【解析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；（2）证明△ACB∽△ADC，得出AC2=ADAB，即可得出结果．
【考点精析】掌握切线的判定定理是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．