Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且．

（1）求的值；

（2）若为抛物线上异于的两点，且．记点到直线的距离分别为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.

详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，

所以＋1＝2，所以p＝2.

（2）由(1)得抛物线方程为y2＝4x．

因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2．

设直线AM方程为x－1＝m (y－2) (m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由消去x，得y2－4m y＋8m－4＝0，

即(y－2)( y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2．

因为AM⊥AN，所以－代m，得y2＝－－2，

所以d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|＝|4m×(－)|＝16．