Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的方程为 ．

由题意

解得a2=16，b2=12．

所以椭圆C的方程为

（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 ，故﹣4≤x≤4．

因为 ，

所以 = ．

因为当 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，

即当x=4m时， 取得最小值．而x∈[﹣4，4]，

故有4m≥4，解得m≥1．

又点M在椭圆的长轴上，即﹣4≤m≤4．

故实数m的取值范围是m∈[1，4]．

【解析】（1）由椭圆的一个焦点F（﹣2，0）可知c=2，且长轴长与短轴长的比即 可求出椭圆方程。
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可以判断x的范围。代入.点P恰好落在椭圆的右顶点, 最小时.解得m的范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．