Question

【题目】已知函数．

（1）试讨论的单调性；

（2）若有两个极值点， ，且，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求导， ，讨论两种情况即可得解（2）， 由题意， 是方程的两个根，所以，① ，②联立①②得出，所以令，所以， ，因此只需证明当时，不等式 成立即可，即不等式成立，构造差函数研究单调性即可得证.

试题解析：

（1）函数的定义域为， ，

令， ，

当时，解得，此时在上恒成立，

故可得在上恒成立，即当时， 在上单调递增．

当时，解得或，

方程的两根为和，

当时，可知， ，此时在上， 在上单调递增；

当时，易知， ，此时可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

综上可知，当时， 在上单调递增；

当时， 在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．

（2），

，由题意， 是方程的两个根，所以，①

，②

①②两式相加可得，③

①②两式相减可得，④

由③④两式消去可得，

所以，

设，因为，所以，所以， ，

因此只需证明当时，不等式 成立即可，即不等式成立．

设函数，由（1）可知， 在上单调递增，故，即证得当时， ，亦即证得，

所以，即证得．