Question

【题目】如图，椭圆E： 的左焦点为F1 ， 右焦点为F2 ， 离心率e= ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e= ，∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为 ．
（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0 ， y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0= = ，y0= ，即P（ ， ）
由 得Q（4，4k+m）
取k=0，m= ，此时P（0， ），Q（4， ），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣ ）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k= ，m=2，此时P（1， ），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）
方法二：
假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0， ）或（0，﹣ ），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1 ， 0），则 =0对满足①式的m，k恒成立．
因为 =（﹣ ﹣x1 ， ），
=（4﹣x1 ， 4k+m），由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0，
整理得（4x1﹣4） +x12﹣4x1+3=0．②
由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以 ，解得x1=1．
故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M
【解析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e= ，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0 ， y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（ ， ），由 得Q（4，4k+m），取k=0，m= ；k= ，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．