Question

【题目】对于数列{an}，定义 为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值” ，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ， 若Sn≤S5对任意的n∈N+恒成立，则实数k的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由题意， =2n+1 ， 则a1+2a2+…+2n﹣1an=n2n+1 ，
当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=（n﹣1）2n ，
两式相减可得2n﹣1an=n2n+1﹣（n﹣1）2n=（n+1）2n ，
则an=2（n+1），
当n=1时，a1=4，
上式对a1也成立，
故an=2（n+1），n∈N+ ，
则an﹣kn=（2﹣k）n+2，
则数列{an﹣kn}为等差数列，
故Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为
a5≥0，a6≤0，
即 ，
解得 ≤k≤ ，
则实数k的最大值为 ，
所以答案是： ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．