Question

【题目】已知.

（1）若,求方程的解；

（2）若关于x的方程在（0,2）上有两个解，求k的取值范围，并证明．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）k的取值范围为，证明见解析。

【解析】

（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=0，下面分两种情况讨论：①当x2﹣1≥0，②当x2﹣1＜0，分别解出方程f（x）=0的解即可；

（2）不妨设0＜x1＜x2＜2，因为，所以f（x）在（0，1]上是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，结合根的范围求出当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，下面求的取值范围，先得出则关于k的函数，再利用函数的单调性求其范围.

（1）当k=2时，，

①当，即x≥1或x≤-1时，

方程化为，解得，

因为，舍去，所以；

②当，即-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0，解得：；

由①②得，当k=2时，方程f(x)=0的解为或。

（2）不妨设，

因为，

所以f(x)在（0，1］是单调函数，故f(x)=0在（0，1］上至多一个解，

若，则＜0，故不符题意，

因此；

由，得，所以k≤-1；

由，得，所以；

故当时，方程f(x)=0在(0，2)上有两个解；

因为，所以，，

消去k，得，

即，

因为x2＜2，

所以。