Question

【题目】经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格×销售量).

(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;

(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.

Answer 1

【答案】(1) a=50. 第15天该商品的销售收入为1 575元.

(2) 当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.

【解析】

(1)由题意可得f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,则a=50.据此计算可得第15天该商品的销售收入为1 575元.

(2)由题意可知y=结合分段函数的解析式分类讨论可得x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.

(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,

解得a=50.

从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),

即第15天该商品的销售收入为1 575元.

(2)由题意可知

y=

即y=

当1≤x≤10时,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.

故当x=5时y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025.

当10<x≤30时,y<102-110×10+3 000=2 000.

故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.