Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，求导通分后发现分母是含有参数的二次函数，根据其判别式进行分类讨论，由此求得函数的单调区间.（2）将和代入原函数，可将原不等式化简为恒成立，利用分离常数法，可将问题转化为切线的斜率来求解.

试题解析：（1），

令，判别式为：，

①：当，得，

此时，从而，

所以在上单调递增.

②：当，即，

令，得方程的根

（舍去），，

若，此时，，得，

由，得，

∴在上单调递增，在单调递减，

若，此时的对称轴为，

，

∴，从而在上单调递增.

综上：当，在上单调递增；当，在上单调递增，单调递减.

（2）由题意有恒成立，

即，

即恒成立，

当时，不等式显然恒成立，

当时，，

所以，则，于是

，在上恒成立，

令，

设，，

则，且两点在的图象上，

又，

故，

所以，

故为所求.