Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am ， 则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，

当n=1时，a1=S1=2．

当n=1时，S1=a1．

当n≥2时，Sn=an+1．

∴数列{an}是“H”数列

（2）解：Sn= = ，

对n∈N*，m∈N*使Sn=am，即 ，

取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得 ，

∵d＜0，∴m＜2，

又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1

（3）证明：设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，

对n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，

cn=（n﹣1）（a1+d），

对n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，

则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．

数列{bn}的前n项和Tn= ，

令Tn=（2﹣m）a1，则 ．

当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．

当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．

因此对n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．

数列{cn}的前n项和Rn= ，

令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m= ．

∵对n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．

因此对n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．

因此命题得证

【解析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 当n=1时，a1=S1”即可得到an ， 再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn ， 对n∈N* ， m∈N*使Sn=am ， 取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1 ， cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．