Question

【题目】已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），

要使函数有意义，则

由 解得：﹣1＜x＜1．

由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg ＜1得：1＜ ＜10，

∵x+1＞0，

∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，

∴ ．

由 ，得： ．

（2）解：当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，

∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），

由单调性可知y∈[0，lg2]，

又∵x=3﹣10y，

∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．

【解析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．