Question

【题目】函数f（x）=a+ 为定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）的单调性并给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数 为定义在R上的奇函数．

∴f（0）=0，

即 ，解得

（2）

解：由（1）知 ，则 ，

函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，给出如下证明：

证法一：任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

则

= = ）

= ，

∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴ ，∴ ，

又∵ ， ， ，

∴ ＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减．

证法二：∵

∴ ，

∵f′（x）＜0恒成立，

故函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减．

【解析】（1）函数 为定义在R上的奇函数．则f（0）=0，解得a的值；（2）证法一：任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2 ， 作差判断f（x2）与f（x1）的大小，结合单调性的定义，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）的单调性；
证法二：求导，判断导函数的符号，进而可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）的单调性．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．