Question

【题目】平面直角坐标系中，动圆与圆外切，且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设过定点（为非零常数）的动直线与曲线交于两点，问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用两圆位置关系建立方程求解；（2）依据题设条件借助直线的斜率公式及直线与抛物线的位置关系进行分析求解：

（1）不妨设动圆的圆心为，

易知圆的圆心为，半径为，

∵动圆与圆外切，且与直线相切，

∴圆心在直线的右侧，且点到点的距离比点到直线的距离大，

即，且，

∴，两边平方并化简整理得，

即曲线的轨迹方程为．

（2）假设在曲线上存在点满足题设条件，不妨设，

则，

∴（*）

显然动直线的斜率非零，故可设其方程为，

联立，整理得，

∴，且，

代入（*）式得，

显然，于是（**），

欲使（**）式对任意成立，∴，

显然，否则由可知，

从而可得，这与为非零常数矛盾，

∴，

∴，∴，

于是，当时，不存在满足条件的，即不存在满足题设条件的点；

当时， ，

将此代入抛物线的方程可求得满足条件的点坐标为或．

下面说明此时直线的斜率必定存在，

∵，∴，∴，

显然，∴，且，∴直线的斜率必定存在，

综上所述，存在点（与两点相异），其坐标为，或，使得直线的斜率之和为定值．