Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Tn= n2﹣ n，且an+2+3log4bn=0（n∈N*）
（1）求{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn=anbn ， 求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Tn= n2﹣ n，易得an=3n﹣2代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根据对数的运算性质化简bn= （n∈N*），
（2）解：cn=anbn= ，∴ ∴

两式相减整理得

（3）解：cn=anbn=（3n﹣2） ∴cn+1﹣cn=（3n+1） ﹣（3n﹣2） =9（1﹣n） （n∈N*），

∴当n=1时，c2=c1= ，

当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞…＞cn，

∴当n=1时，cn取最大值是 ，又cn≤ m2+m﹣1对一切正整数n恒成立∴ m2+m﹣1≥ ，即m2+4m﹣5≥0，

解得：m≥1或m≤﹣5．

【解析】（1）由Tn= n2﹣ n，先求数列{an}的通项公式；代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根据对数的运算性质化简即可求出{bn}的通项公式；（2）把第一问求出的两数列的通项公式代入cn=anbn中，确定出cn的通项公式，从而求数列{cn}的前n项和Sn；（3）表示出cn+1﹣cn ， 判断得到其差小于0，故数列{cn}为递减数列，令n=1求出数列{cn}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．