Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l的参数方程为 （t为参数），

即为 ，消去t，可得直线l的普通方程为 x+y+4=0；

曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．即为ρ=4，（﹣1舍去），

由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x2+y2=16

（2）解：圆C的圆心为（0，0），半径r=4，

C到直线的距离为d= =2，

|AB|=2 =2 =4 ，

由余弦定理可得cos∠AOB= = =﹣ ，

可得 ．

【解析】（1）运用特殊角的三角函数值及代入法，可得直线l的普通方程；解得ρ=4，由x2+y2=ρ2 ， 可得曲线C的直角坐标方程；（2）求得圆心到直线的距离，弦长AB，由余弦定理，计算即可得到所求∠AOB的值．