Question

【题目】选修4﹣4：极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为 ，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线 ， 与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）C1：即 ρ2=2 ρ（ sinθ+ cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化为直角坐标方程为 （x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
把C2的方程化为直角坐标方程为 y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），
解得a=1，故C2的直角坐标方程为 y=1．
（Ⅱ）由题意可得， ； φ； ； =2 cos（ +φ），
∴|OA||OC|+|OB||OD|=8sin（φ+ ）sinφ+8cos（ +φ）cosφ=8cos[（ +φ）﹣φ]=8× =4
【解析】（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得， ； φ； ； =2 cos（ +φ），再根据|OA||OC|+|OB||OD|=8sin（φ+ ）sinφ+8cos（ +φ）cosφ=8cos ，计算求得结果．