Question

【题目】定义的零点为的不动点，已知函数.

Ⅰ.当时，求函数的不动点；

Ⅱ.对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

Ⅲ.若函数只有一个零点且,求实数的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 的不动点为3，-1;(2) ;(3) 的最小值为1.

【解析】试题分析: （1）将代入函数的表达式,根据零点概念求出方程的根;(2)把函数恒有两个相异的不动点,转化为对于任意实数，恒有两个不等的实数根问题,即对任意实数都成立,求出b的范围即可;(3) 函数只有一个零点,则，利用分离参数法得出,根据基本不等式求出最值.

试题解析:（1），

，

或-1.

故函数的不动点为3，-1．

（2） 对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，

则对于任意实数，恒有两个不等的实数根．

所以，恒成立，

所以，

所以对任意实数都成立，

所以，

所以．

（3），函数只有一个零点，，

则，

所以，

所以 ．

当且仅当时等号成立，

所以，的最小值为1.