Question

【题目】在直角坐标系中，设椭圆的焦点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，若的周长为短轴长的倍.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设的斜率为，在椭圆上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在点，使成立．

【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义得的周长为,即，解得椭圆的离心率；（2）设， ， ,则由得代入等式,并化简得．利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理得， ．代入解得矛盾,故不存在.

试题解析：解：（Ⅰ）∵椭圆： 的焦点为， ，

过右焦点的直线与椭圆相交于两点，

的周长为短轴长的倍， 的周长为．

∴依题意知，即．

∴椭圆的离心率．

（Ⅱ）设椭圆方程为，

直线的方程为，

代入椭圆方程得．

设， ，

则， ．

设，则．①

由得

代入①得．

因为， ，

所以．②

而

．

从而②式不成立．

故不存在点，使成立．