Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， n∈N* ， 已知a1=1，a2= ，a3= ，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1 ．
（1）求a4的值．
（2）证明：{an﹣1﹣ an}为等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，a2= ，a3= ，

∴S1=1，S2= ，S3= ，

又∵4S4+5S2=8S3+S1，

∴S4= （8S3+S1﹣5S2）= （8 +1﹣5 ）= ，

∴a4=S4﹣S3= ﹣ =

（2）证明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1，

∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn，

∴4an+2+an=4an+1，

整理得：an﹣2an+1=2an+1﹣4an+2，

∴an+1﹣2an+2= （an﹣2an+1），

即an+2﹣ an+1= （an+1﹣ an），

又∵ = ﹣ =1，

∴数列{an+1﹣ an}是以1为首项、 为公比的等比数列

（3）解：由（2）可知an+1﹣ an= ，

∴an+1= an+ ，

∴2n+1an+1=2nan+4，

又∵2a1=2，

∴数列{2nan}是以2为首项、4为公差的等差数列，

∴2nan=2+4（n﹣1）=4n﹣2，

∴an= =

【解析】（1）通过4S4+5S2=8S3+S1 ， 直接代入计算即可；（2）通过对4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1变形可知4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn ， 即4an+2+an=4an+1 ， 整理得an+1﹣2an+2= （an﹣2an+1），进而计算可得结论；（3）通过（2）可知an+1﹣ an= ，两边同时乘以2n+1可知2n+1an+1=2nan+4，进而数列{2nan}是以2为首项、4为公差的等差数列，计算即得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比关系的确定和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．