Question

【题目】函数，，已知曲线与在原点处的切线相同．

（1）求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助条件确定的表达式，然后求导，解不等式得单调区间；（2）构建新函数，借助最值建立关于的不等关系.

试题解析：解：（1）∵（），，

依题意，，解得，

∴，

当时，；当时，，

故的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）令，

由（1）知：，∴，即，

∴．

(i)若，则

∴在上是增函数，

∴，

∴成立．

(ii)若，由（1）知，则，

由(i)知：，

∴成立．

(iii)若，则，则，

显然在上单调递增，

又，，

∴在上存在唯一零点，

当时，，所以在上单调递减，

从而，即，

∴在上单调递减，

从而当时，，即，不合题意．

综上，实数的取值范围为．